Geometriler (MAT 441), 2015–6, güz

Note added August 15, 2017. I kept a thorough record of this course in English (155 pages, A5 paper, 12 point type, dated today):

I led similar courses at the Nesin Mathematics Village in the summers of 2016 and 2017.

Bu dersin ana konuları

projektif geometri ve
hiperbolik geometridir.

Projektif geometride, Öklid düzleminde paralel olan doğrular, kendi ortak “sonsuzdaki noktasında” kesişir. Bu şekilde, herhangi iki doğru kesişir, dolayısıyla verilen doğruya paralel olan, doğruda olmayan bir noktadan, hiçbir doğru geçmez.

Hiperbolik geometride verilen doğruya paralel olan, doğruda olmayan bir noktadan, birden fazla doğru geçer.

Projektif geometride, öğreneceğimiz üç önemli teorem vardır:

Pappus Altıgen Teoremi.
Desargues Teoremi.
Tam Dörtgen Teoremi: Bir doğru tam dörtgenin altı kenarını keserse, kesişim noktaları olan beş nokta, kalan noktayı belirttir.

Pappus, bunlardan birinci ve üçüncüyü kanıtlar, ve Öklid Geometrisi dersindeki gibi, Pappus'un kanıtlarını tahtada hepimiz anlatacağız. Pappus, şimdilik kabul edeceğimiz Öklid'in orantılar kuramını kullanır.

Daha sonra, orantıları kullanmadan, ama üç boyutu kullanarak, Pappus Altıgen Teoremine başka bir kanıt vereceğiz.

Ondan sonra, sadece Pappus Altıgen Teoremini kullanarak, Desargues Teoremini kanıtlayacağız. Bunu kullanarak, “Tam Dörtgen Teoremi'ni” kanıtlayacağız.

Desargues Teoremini kullanarak, bir orantılar kuramı elde edebileceğiz. Bu şekilde orantılar kuramının ve Pappus Teoreminin denkliği görünecektir.

Metinler

Projectif geometri için

Pappus, Toplama (veya Koleksiyon), Kitap VII, Önermeler 127–145 (Öklid'in Porizmalar'ı için Lemmalar I–XIX) // Pappus, Collection, Book VII, Propositions 127–145 (Lemmas I–XIX to Euclid's Porisms):
- Türkçe çeviri (64 sayfa, A5 boyu)
  - pdf
  - ps
  - dvi
  - tex
- Hultsch tarafından redaksiyon yapılmış Yunanca kaynak ve Latince çevirisi (1 + 30 sayfa)
- Jones tarafından redaksiyon yapılmış Yunanca kaynak ve İngilizce çevirisı (5 + 20 sayfa, diyagramlar yok)
Alıştırmalar (5 problem, 3 sayfa, A4 kağıdı)
- pdf
- ps
- dvi
- tex

Hiperbolik geometri için

Lobachevski, Geometrical Researches on the Theory of Parallels (English translation by Halsted; 47 sayfa)

Ek olan

Coxeter, Introduction to Geometry, Chapter 6 & Part III (Chapters 12–16) (8 + 19 + 131 sayfa)
Hilbert & Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, Chapter III (5 + 77 sayfa): “Projective Configurations”

Bakmakla öğrenilse, köpekler kasap olurdu.