Sayılar Kuramı (MAT 316), 2023–24 Bahar

İçindekiler

• Takvim
• Konular
  • Öklid Algoritması
  • Sayılar Kuramının temelleri
  • Kalandaşlık
  • Asallık
  • Lamé Teoremi
• Sınavlar
• Kaynaklar

Takvim

Pazartesi ve Cuma sabahlarında buluşuyoruz.

• İlk ders 4 Mart
• 8 ve 12 Nisan bayram
• Son ders 14 Haziran

Konular

Burada hata yapmamaya çalışıyorum, ama sayfanın matematiğinde veya Türkçesinde bir hata bulursanız lütfen bana haber verin.

Öklid Algoritması

Sayma Sayılarında

Sayma sayılarında a₁ > a₂ olduğunda, öyle

• n,
• a₃, …, a_n+1,
• t₁, …, t_n

sayılarını bulabiliriz ki

ve

Bu durumda

Ayrıca

Bézout denklemini çözebiliriz, ve bu şekilde hesaplarımızı kontrol edebiliriz.

Tersine n, t₁, …, t_n, ve a_n+1 sayılarını seçerek kendi alıştırmalarımızı yaratabiliriz.

Yukarıdaki durumda

Kısaltma olarak

Aslında

olduğunda 1 ⩽ k < n ise

ve son olarak

ama β_n+1 tanımlanmaz.

Gerçel Sayılarda

Yukarıda β₁, kesirli olmayan bir gerçel sayı olabilir, ve bu durumda her k için β_k tanımlanır. Şimdi

olsun. Eğer kare olmayan bir d sayma sayısı için β₁ = √d ise, o zaman öyle bir n vardır ki

ve her k için

Bu durumda her ℓ için

Bu genel teoremi göstermiyoruz ama her özel durumda gösterebiliriz. Bu şekilde herhangi kare olmayan d için

Pell denkleminin, sonsuz sayıda çözümlerini bulabiliriz. Ayrıca

Sayılar Kuramının temelleri

İyisıralanmış bir küme, öyle doğrusal sıralanmış bir kümedir ki her boş olmayan altkümesinin en küçük elemanı vardır.

Eğer iyisıralanmış bir küme boş değilse, o zaman en küçük elemanı vardır. Ayrıca, bu kümenin bir a elemanı, kümenin en büyük elemanı değilse, o zaman a’dan büyük olan elemanların en küçüğü vardır, ve bu eleman, a’nın ardılıdır. Ne en küçük elemanı ne ardıl olan bir eleman, bir limittir.

Postulat. Sayma sayıları,

• boş olmayan,
• en büyük elemanı olmayan,
• limiti olmayan

iyisıralanmış bir küme oluşturur.

Tanım. Sayma sayıları kümesi

ve ℕ’nin en küçük elemanı

ve ℕ’nin her n elemanının ardılı,

Tümevarım Teoremi. Eğer ℕ’nin bir altkümesi

• 1’i içerirse ve
• kümenin her elemanının ardılını da içerirse,

o zaman bu altküme ℕ’nin kendisidir.

Özyineleme Teoremi. Eğer

• A, bir küme,
• b ∈ A,
• f: A → A

işe, o zaman bir ve tek bir g vardır, öyle ki

• g: ℕ → A,
• g(1) = b,
• her zaman g(n + 1) = f(g(n)).

Tanım.

• Toplama:

  n + (k + 1) = (n + k) + 1.

• Çarpma:

  n ⋅ 1	=	n,
  n ⋅ (k + 1)	=	n ⋅ k + n.

• Kuvvet alma:

  n1	=	n,
  n(k + 1)	=	nk ⋅ n.

Teorem. Toplama ve çarpma, birleşmeli ve değişmelidir, ve çarpma, toplama üzerinde dağılır.

Kanıt. Tümevarım. Değişmeli özelliğin her durumunda üç tümevarım kullanır, çünkü

eşitlikler de gösterilir. Ayrıntılar, bir alıştırmadır.

Teorem.

Kanıt. Bir alıştırmadır.

Teorem. Eğer a < b ise, o zaman

• bir ve tek bir z için

  a + z = b;

• bir ve tek bir y için

  a ⋅ y ⩽ b ⩽ a ⋅ y + a;

• a > 1 olduğunda bir ve tek bir x için

  a^x ⩽ b < a^x ⋅ a,

  dolayısıyla bir ve tek bir y için

  a^x ⋅ y ⩽ b < a^x ⋅ y + a^x & y < a.

Örnek.

ve sonuç olarak

2024 = 2²2+1⁺² + 2²2+1⁺¹ + 2²2+1^^ + 2²2⁺²⁺¹ + 2²2⁺² + 2²2⁺¹ + 2²⁺¹

Kalandaşlık

Tanımlar.

Okulda öğrendimiz gibi toplama ve çarpma, ℤ’de tanımlanır, ve sonuç olarak ℤ, değişmeli bir halka olur. Bu durumda a ∈ ℕ olduğunda

ve n ∈ ℕ olduğunda tanıma göre

Ayrıca ℤ’de

Şimdi n ∈ ℕ olduğunda

ve bu durumda a ve b, n modülüsüne göre kalandaştır. Sonuç olarak

Öklid Lemması. ℤ’de

Kanıt.

olduğunda

Teoremler.

Eğer ebob(a,n) = 1 ise, o zaman öyle c vardır ki

ve sonuç olarak

Şimdi bir ax ≡ b (mod n) kalandaşlığının çözümü varsa onu bulabiliriz.

Eğer ebob(m,n) = 1 ise, o zaman

Çin Kalan Teoremi. {n₁, …, n_k} ⊆ ℕ olduğunda

olsun. O zaman

olduğunda her durumda

olduğunda öyle b_i vardır ki

ve sonuç olarak

sisteminin çözümü,

Asallık

Eğer

ise, o zaman a ve b, birbirine asaldır.

Eğer

ise, o zaman p asaldır.

Aritmetiğin Temel Teoremi. Her sayma sayısı, bir ve tek bir şekilde, öyle

çarpımıdır ki her p_k çarpanı asaldır ve

Burada n = 0 olabilir, ve bu durumda p₁ … p_n = 1.

Kanıt. Sayma sayıları iyisıralandığından ve sayma sayılarında

olduğundan

• 1’den büyük olan her sayma sayısının asal bir çarpanı vardır;
• her sayma sayısı, asalların bir çarpımıdır.

Öklid Lemması sayesinde bu çarpım tektir.

Teorem.

Lamé Teoremi

Sayma sayılarında, bildiğimiz gibi,

olduğunda,

Ayrıca t_n > 1 varsayılabilir, ve bu durumda, eğer

ise, o zaman

Zira

Özyineleme ile

ve genelde

olsun. Bunlar, Fibonacci Sayılarıdır. O zaman

Şimdi

olsun. Burada φ, Altın Orandır. Ayrıca φ ve ψ,

denkleminin çözümleridir. O zaman her (α, β) için

Ayrıca

lineer sisteminin çözümü

olduğundan

Binet Formülü’nü elde ediyoruz. Ayrıca tümevarım ile her durumda

çünkü

ve eğer

ise, o zaman

Bundan dolayı

Ayrıca tümevarım ile

olduğundan ve

olduğundan

Son olarak

olduğundan

Şimdi, eğer tekrar

ise, o zaman

Örneğin a₂ < 1000 ise n ⩽ 15. Αyrıca

olduğundan (a₁, a₂) = (1597, 987) ise n = 15.

Sınavlar

1. 19 Nisan. Çözümler (4 sayfa pdf)
2. 24 Mayıs
3. Final:

İlk iki sınavdan daha iyisi sayılacak; telafi sınavı olmayacak.

Kaynaklar

Dersin tek resmi kaynağı, derslerdir, ama bunlar için aşağıdakileri kullanabilirim.

• Edmund Landau:

  • Foundations of Analysis (third edition, Chelsea, 1966), Chapter 1: Natural Numbers (ii + 18 sayfa)
  • Elementary Number Theory (Chelsea, 1958): Part I, Chapters 1–7 (greatest common divisors, prime factorization, number-theoretic functions, congruences, quadratic residues, Pell equation)

• Elementary Number Theory: notlarım, A5 kağıt, 196 sayfa

• Sayılar Kuramına Giriş (Matematik Vakfı, Ankara, Aralık 2000)

• Euclid, Elements, Books VII–IX: Heath’s translation with commentary (ii + 150 pages)

• David M. Burton, Elementary Number Theory (6th ed., McGraw-Hill, 2007)

• Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed., Oxford, 1979)