Analizde Seçme Konular II (MAT 482)
2011–12, bahar yarıyılı, Pazar ve Çarşamba, saat 9:00–10:50
Ders kitabı: Ali Nesin, Analiz IV, Nesin Matematik Köyü Kitaplığı, Nesin Yayıncılık, İstanbul, Aralık 2011
1. Hafta (13 Şubat)
ℝ cisminin noktaların komşulukları ve süreklilik (0.1)
Alıştırmalar: 0.1–12
Kısa sınav (sonraki Pazartesi):
2. Hafta (20 Şubat)
ℝ cisminin açık altkümeleri ve süreklilik (0.2)
Alıştırmalar: 0.13–19, 22
Kısa sınav 2 (sonraki Pazartesi):
3. Hafta (27 Şubat)
Topolojik uzaylar (1)
Alıştırmalar: 1.1–3, 5–12, 14, 15
Kısa sınav 3 (sonraki Pazartesi):
Sınav çözümleri:
4. Hafta (5 Mart)
Diziler ve limitleri (2)
Alıştırmalar: 2.2, 2.3, 2.5, 2.7, 2.8, 2.9
Kısa sınav 4 (sonraki Pazartesi):
Sınav çözümleri:
5. Hafta (12 Mart)
Süreklilik (3); topolojilerin öntabanları (4.1–3)
Alıştırmalar: 3.1–4; 4.1, 4.5
Kısa sınav 5 (sonraki Pazartesi):
Sınav çözümleri:
6. Hafta (19 Mart)
Öklid topolojisi, topolojilerin tabanları (4.4–6)
Alıştırmalar: 4.7, 10, 11, 13, 15, 17
7. Hafta (26 Mart)
Ara sınav: Çarşamba 28 Mart
Sınav çözümleri:
8. Hafta (2 Nisan)
Kapalı kümeler, kapanışlar, yığılma noktaları (8)
Alıştırmalar: 8.1, 4, 7, 8, 12, 15, 16, 18, 19, 24, 27
Sonraki Pazartesi yapılacak kısa sınav 6, 8.1–15 nolu alıştırmalardaki kavramlar üzerine olacak.
Sınav çözümleri:
9. Hafta (9 Nisan)
Metrik uzayları (10.1–3, 13.1–2)
Alıştırmalar: 10.1, 2, 3, 4, 5, 9, 10
Sonraki Pazartesi yapılacak kısa sınav 7, 10.1–3 nolu alıştırmalardaki (ve geçen haftanın alıştırmalarındaki) kavramlar üzerine olacak.
Sınav çözümleri:
10. Hafta (16 Nisan)
Boole halkalarından ve Boole cebirlerinden gelen topolojik uzaylar; topolojik uzaylardan gelen Boole cebirleri; yığılma noktaları; topolojik eşlemeler (yani homeomorfizimler: Bölüm 7); bağlantılılık ve kopukluk (Bölüm 9)
Alıştırmalar:
- Bir Boole halkasında neden xy = inf{x,y} olur?
- Her Boole halkasında x ∨ y = x + y + xy. Neden x ∨ y = sup{x,y}?
- H, sonlu veya tümleyenleri sonlu olan doğal sayılar kümelerinin
Boole halkası olsun, ve S(H), H halkasının maksimal idealleri kümesi
olsun. X, H halkasının altkümesiyse [X], S(H) kümesinin
X kümesini içermeyen elemanları kümesi olsun.
- S(H) kümesinin elemanları nedir?
- Neden [X] kümeleri kümesi, S(H) üzerinde bir topolojinin tabanıdır?
- Bu topolojinin özellikleri nedir?
- Ali Nesin'in kitabından: 7.1, 2
- Ali Nesin'in kitabından: 9.1, 2, 3, 5, 6, 9
3 nolu alıştırmanın büyük bölümü derste yapıldı. Kısa sınav 8 için (geçen haftanın alıştırmaları ve) 1, 2, 4 nolu alıştırmalar önemlidir.
Sınav çözümleri:
11. Hafta (23 Nisan)
23 Nisan bayram olduğundan kısa bir hafta. Bağlantılılık ve kopukluk (Bölüm 9). Stone Gösterim Teoremi (Stone Representation Theorem) hakkında notlarım.
12. Hafta (30 Nisan)
Bağlantılılık ve çarpım topolojisi.
Alıştırmalar:
- Her i için Xi bağlantılı olsun. Ne zaman
∪i∈IXi bağlantılıdır?
- Her i için farklı bir j olsun ki Xi∩Xj boş olmasın. ∪i∈IXi bağlantılı mıdır?
- (I,<) tam sıralama olsun. Her i için bir j olsun ki j<i olsun ve Xi∩Xj boş olmasın. ∪i∈IXi bağlantılı mıdır?
- x∈X olsun. Neden Y ve {x}×Y topolojik olarak denktir?
- Ali Nesin'in kitabından: 9.10, 12
13. Hafta (7 Mayıs)
Tıkızlık. Heine–Borel Teoremi. Tihonov (Ти́хонов, Tychonoff) Teoremi.
Alıştırmalar: 16.1, 5–10, 12, 13, 14, 15, 28. Uyarı: Alıştırma 16.10 yanlıştır!
14. Hafta (14 Mayıs)
Sadece ikinci ara sınavı, Çarşambada. Konuları, 8. hafta ve sonrasından.
Tıkızlık ve Tihonov Teoremi hakkında notlarım.
Ara sınav 2:
Sınav çözümleri:
Son sınav (30 Mayıs)
Sınav çözümleri:
Bakmakla öğrenilse, köpekler kasap olurdu.
