Aksiyomatik Kümeler Kuramı Alıştırmaları
5 Aralık 2019
Bir F ordinal işlemi için, eğer her α için,
β < F(α) < γ
koşulunu sağlayan her β ve γ için,
δ < α < ζ
koşulunu sağlayan bazi δ ve ζ için, her ξ için
δ < ξ < ζ ⟹ β < F(ξ) < γ
ise, o zaman tanima göre F süreklidir. F kesin artan olmak üzere F’nin sürekli olmasinin gerek ve yeter bir koşulunun, her α limiti için
F(α)=sup F[α]
denkleminin doğru olmasi olduğunu gösterin.
Örnekler varsa, birini verin; yoksa olmadiğini kanitlayin.
Küme olmayan bir sinif.
Sinif olmayan bir küme.
Kendisini içermeyen bir küme.
Kendisini kapsamayan bir küme.
Ordinal olmayan, ∈ tarafindan iyisiralanan bir küme.
Ordinal olmayan, boş olmayan, geçişli bir küme.
Elemanlari ordinal olan, en küçük elemani 1 olan bir küme.
Ordinal olan, en küçük elemani 1 olan bir küme.
Elemanlari ordinal olan, en küçük elemani olmayan bir küme.
Kesin artan, normal olmayan bir ordinaller işlemi.
Sürekli olan, kesin artmayan bir ordinaller işlemi.
Kesin azalan bir ordinaller işlemi.
Sayilamaz bir küme.
Küme olmayan, sayilabilir bir sinif.
Aşağidaki bir ordinaller eşitliği her durumda doğru ise eşitliği kanitlayin; değilse bir karşit örnek verin.
α + 0 = α.
0 + α = α.
α + (β + γ)=(α + β)+γ.
α + β = β + α.
α ⋅ 1 = α.
1 ⋅ α = α.
2 ⋅ α = α + α.
α + β ⋅ γ = (α + β)⋅γ.
α ⋅ (β ⋅ γ)=(α ⋅ β)⋅γ.
α ⋅ β = β ⋅ α.
α ⋅ (β + γ)=α ⋅ β + α ⋅ γ.
(α + β)⋅γ = α ⋅ γ + β ⋅ γ.
(α + β)2 = α2 + 2 ⋅ α ⋅ β + β2.
(α + β)2 = α2 + α ⋅ β + β ⋅ α + β2.
Cantor normal biçimleri bulun:
1 + ω + ω2 + ω3.
1 + ω2 + ω + ω3.
1 + ω3 + ω + ω2.
ω3 + ω + ω2 + 1.
3 ⋅ (ω+4).
(ω+4)⋅3.
(ω2 + 3)⋅(ω + 4).
(ω+4)⋅(ω2 + 3).
(ω2 ⋅ 5 + 3)⋅(ω + 4).
(ω+4)⋅(ω2 ⋅ 5 + 3).
2 Ocak 2020
Cantor normal biçimleri bulun:
ωωω ⋅ 2 + ω17 ⋅ 5 + ωω5 ⋅ 14 + ωωω + ω17 ⋅ 6 + ω + 317
(ω2 ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5)⋅(ωω ⋅ 3 ⋅ 16 + ω2 ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)
(ωω ⋅ 2 ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5)⋅(ωω ⋅ 3 ⋅ 16 + ω2 ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)
(ωω ⋅ 2 ⋅ 4 + ω ⋅ 2 + 5)⋅(ωω3 ⋅ 16 + ω2 ⋅ 7 + ω ⋅ 8 + 87)
(ω+5)2
9ω + 2
(ω+5)ω + 2
(ωω)ωω
(ωωω)ωω
6ω1330
Çözün:
ξ + ω2 + η = 15 + ω2 + 16
ξ ⋅ ω + η ⋅ ω = (ξ + η)⋅ω
Çözün.
ℵ1 ⊕ ℵξ = ℵ3
ℵξ ⊗ ℵω = ℵω
(ℵω ⊕ ℵω2)⊗ℵω ⋅ 3 = ℵξ
(ℵα)ℵα = 2ℵξ
kard(℘(ℵξ))=2ℵω + 1
kard(ωωω + ωω + ω + 75)=ℵξ
Her kümenin kardinali, ℵα veya ℶα biçiminde yazin.
Sayilabilir ordinallerin oluşturduğu küme
ℝ’nin sonlu altkümelerinin oluşturduğu küme
ℝ’nin sayilabilir altkümelerinin oluşturduğu küme
ℝ’nin sayilamaz altkümelerinin oluşturduğu küme
sup{ℵ0, ℵ0ℵ0, ℵ0ℵ0ℵ0, ℵ0ℵ0ℵ0ℵ0, …}
sup {ω,ωω,ωωω,…}
ℵ3 ⊕ ℵ5
ℵ5 ⊗ ℵ3
ℵ2 ⋅ ω ⊕ ℵω ⋅ 2
(ℵ2 ⊕ ℵ3)⊗(ℵω ⊕ ℵ16)
ℵω ⊕ ℵωω
ℵωω ⊗ ℵω
℘(ℝ)
ωℝ
(ℵ0)ℵ0
(ℶ0)ℶ0
(ℶ1)ℶ1
(ℵ1)ℶ1
(ℵω2 ⋅ 3 + ω)ℶωω
(ℶω + 1)ℶω
℘(ℶω)
Bakmakla öğrenilse, köpekler kasap olurdu.