Güz 2019/Fall 2019

MAT 476 : Permütasyon Grupları

Duyurular. (Announcements)

MAT 216 Geometri ve Cebir, bu ders için önkoşuldur.
Dersin birinci bölümünde, permütasyon grupları ile ilgili hatırlatmalar yapılacaktır. İkinci bölümde, keskin 2-geçişli sonlu grupların sınıflandırılması yapılacaktır. Dersin diğer bölümlerini sınıfta konuşacağız.
Ders 8 Ekim 2019 Salı günü başlıyor.
Ödev soruları 14 Kasım Perşembe günü derste verildi. Ödev teslim günü 21 Kasım Perşembe dersin başlama saati olan 13.00'tür.
Ara sınav 17 Aralık Salı günü ders saatinde olacaktır.
Final sınavı tarihi bölüm tarafından 21 Ocak 2020 olarak duyurulmuştur.

Ders saatleri. Salı 13.00-14.50, Perşembe 13.00-13.50 D3

Ana Kaynaklar.

"Permütasyon Gruplarına Giriş", ders notu, AB, Ekim 2019.
"Keskin 2-Geçişli Gruplar", ders notu, AB, Kasım 2019.
"Permutation Groups and Combinatorial Structures", N.L. Biggs, A.T. White, Cambridge University Press, 1979. (Chapter 3)

Ek Kaynaklar.

J. L. Zimmer, The additive group of a near-field is abelian, Journal Lond. Math. Soc. 44 (1969), 65-67.
S. Türkelli, Splitting of sharply 2-transitive groups of characteristic 3, Turkish J. Math. 28 (2004), 295-298.
K. Tent, M. Ziegler, Sharply 2-transitive groups, Adv. Geom. 16 (2016), 131–134.
E. Rips, Y. Segev, K. Tent, A sharply 2-transitive group without a non-trivial abelian normal subgroup, J. Eur. Math. Soc. 19 (2017), 2895–2910.

Diğer.

"The Theory of Groups", M. Hall, Macmillan, 1959. (Chapter 20)
"Permutation Groups", J.D. Dixon, B. Mortimer, Springer, 1996.
"Permutation Groups", P.J. Cameron, Cambridge University Press, 1999.
"Permutation Groups", D. Passman, Benjamin, 1968.
Eric Mendelsohn, On the groups of automorphisms of Steiner triple and quadruple systems, J. Combin. Theory Ser. A 25 (1978), 97–104.
William M. Kantor, Automorphism groups of designs with λ=1, Discrete Math. 342 (2019), 2886–2892.

Notlandırma. (Grading) Dönem içi değerlendirme derse katılım, bir ödev ve bir ara sınav üzerinden olacaktır. Dönem sonu final sınavı yapılacaktır. Derse devam zorunluluğu vardır, %70 devam koşulunu yerine getirmeyenler, finale ve bütünlemeye giremez.

Sınıfta Yapılanlar/Yapılacaklar.
1. hafta: Grup etkisi, örnekler, permütasyon gruplarının hatırlanması. Yörünge-sabitleyici teoremi. (Orbit-stabilizer theorem.)
2. hafta: k-geçişli etkiler, keskin k-geçişli etkiler. Örnekler, özellikler.
3. hafta: {[a,b;0,1]: a,b ∈ K, a ≠0} kümesinin matris çarpımına göre grup olması için K'nin yakın-cisim (near-field) olması gerek ve yeter koşuldur. Bu grubun {[x,1]:x ∈ K} kümesi üzerine etkisi keskin 2-geçişlidir. Bundan dolayı PGL₂(K) grubunun projektif doğru üzerine olan doğal etkisi keskin 3-geçişlidir.
4. hafta: (Tatil nedeni ile bir saat ders) Grup etkilerinin denkliği. Örnekler. Keskin geçişli grup etkilerinin grubun kendi üzerine olan soldan çarpma etkisine denkliği.
5. hafta: Keskin 2-geçişli gruplarda öztersler (involutions) ve sabit noktasız elemanlar (fixed-point-free elements).
6. ve 7. hafta: Permütasyon karakteristiğinin (pc) 2 olup olmaması. Sonlu keskin 2-geçişli gruplarda birimden farklı, normal ve abelyan bir altgrup vardır.
8. hafta: Birimden farklı, normal ve abelyan altgrubu olan keskin 2-geçişli gruplar standart gruba denktir. Yakın-cisimlerde toplamanın abelyan olması (Zimmer'in makalesi).
9. hafta: Permütasyon karakteristiğinin tanımı ve pc'si 3 olan grupların sınıflandırılması (Kerby Teoremi, Türkelli'nin makalesi). Yoav Segev'in keskin 2-geçişli gruplar seminerinin birinci yarısı.
10. hafta: Segev'in seminerinin ikinci yarısı. Permütasyon gruplarının kanıtlarda kullanımına örnekler. Sınava yönelik problem çözümü.
11. hafta: Sınav. Steiner sistemlerine ve tasarımlara giriş.
12. hafta: Steiner Sistemlerin daralmaları ve genişlemeleri. Grup etkilerinin tek nokta genişlemeleri.
13. hafta: (1 saat) M₂₂ Mathieu grubunun PSL₃(4) grubunun PG(2,4) üzerine olan etkisinin tek nokta genişlemesi olarak inşasına giriş.
14. hafta: Diğer Mathieu gruplarının inşası ve basitliklerinin kanıtlanması.

Güncelleme: 20 Ocak 2020
Hazırlayan (Prepared by): Ayşe Berkman