Güz 2020

MAT 451 : Cebirsel Topoloji

Bu ders uzaktan verilmektedir.
Duyurular.
Kitaplar.
Ana Kitap: Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. xii+544 pp.
Diğer Kitaplar: Joseph J. Rotman, An introduction to algebraic topology. Springer-Verlag, 1988. xiv+433 pp.
William S. Massey, A basic course in algebraic topology. Springer-Verlag, 1991. xvi+428 pp.
Fred H. Croom, Basic concepts of algebraic topology. Springer-Verlag, 1978. x+177
J. P. May, A concise course in algebraic topology. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1999. x+243 pp.
Sasho Kalajdzievski, An illustrated introduction to topology and homotopy. CRC Press, 2015. xvi+469 pp.
John Stillwell, Classical Topology and Combinatorial Group Theory. Springer, Second Edition, 1993. xii+334 pp.
James R. Munkres, Topology. Prentice Hall, Second Edition, 2000. xvi+537 pp.
Mark Anthony Armstrong, Basic topology. Springer-Verlag, 1983. xii+251 pp.
Notlandırma.
Dönem içi iki ödev (30'ar puan) ve dönem sonu bir final ödevi (40 puan) verilecektir.
Derste Yapılanlar/Yapılacaklar.
1. hafta: (2 saat) Topolojik uzay ve homeomorfizma örnekleri. Uç noktaları aynı olan yollar üzerinde homotopikliğin tanımı ve bir denklik bağıntısı olması. R^n'deki konveks altuzaylarda uç noktaları aynı olan yolların birbirine homotopik olması.
2. hafta: (2 saat) Uygun yollar ve bu yolların homotopi sınıfları üzerinde devam işleminin tanımlanması, loop'lar. Esas grubun tanımı ve grup olduğunun kanıtlanması. Yol bağlantılı uzaylarda esas grubun base point'ten bağımsız oluşu.
3. hafta: R^n'deki tüm konveks altkümelerin ve çemberin esas gruplarının bulunması. Cebirin Temel Teoremi'nin homotopi yardımı ile kanıtı.
4. hafta: Brouwer Sabit Nokta Teoremi ve Borsuk-Ulam Teoremi'nin topoloji kullanarak n=2 durumunda kanıtlanması. Çarpım/kutu topolojisi ile ilgili kısa bilgiler. Yol bağlantılı uzaylarda, XxY'nin esas grubunun X ve Y'nin esas gruplarının direk çarpımına izomorfik olması. Silindirin ve torusun esas gruplarının bulunması.
5. hafta: Sürekli fonksiyonlardan homomorfizmalara geçiş, kısaca kategoriler ve functor'lar, deformation retraction kavramı. Serbest homotopi, uzayların homotopi denkliği, örnekler.
6. hafta: Homotopi denkliğinden izomorfizmalara geçiş. Serbest gruplar ve grupların serbest çarpımı. Van Kampen Teoremi'ne giriş ve örnekler.
7. hafta: Van Kampen Teoremi, özet kanıtı ve uygulamaları.
8. hafta: CW kompleksleri ve esas grupları.
9. hafta: Biraz grup teori ve her grubun bir CW kompleksinin esas grubu olması. Örtü uzaylarına giriş ve çeşitli kaldırma özellikleri (lifting properties).
10. hafta: Örtü uzaylarında p*'la ilgili özellikler. Bazı bağlantılılık özelliklerine sahip uzaylar için basit bağlantılı örtü uzayı inşası.
11. hafta: (1 saat) Esas grubun her altgrubuna karşılık gelen örtü uzayının inşası. Nielsen-Schreier Teoremi.
12. hafta: Örtü uzayı izomorfizmaları. Bazı bağlantılılık özelliklerine sahip uzayların örtü uzayları ile esas gruplarının altgruplarının arasında bire bir ve örten bir eşleme olması. Internetten Wildberger'in Conway'in ZIP kanıtı dersi.
13. hafta: Evrensel örtü uzayı. Grup etkileri ve (keskin) geçişli etkiler. Esas grupların normal altgrupları ve normal örtü uzayları. Örtü uzaylarının otomorfizma grupları (deck transformations). Esas grupla otomorfizma grubu arasındaki ilişkiler.
14. hafta: Örnekler ve uygulamalar. Yörünge uzayları.
Güncelleme: 10 Şubat 2021
Hazırlayan: Ayşe Berkman