Güz 2021

MAT 445 : Gruplar ve Geometri

Duyurular.
Ders Saatleri. Yüz yüze yapılan dersler Çarşamba günleri 12.00-12.50 ve Perşembe günleri 10.00-11.50 arasında D2'de olacaktır. Çevrimiçi dersler Teams'te veya Google Meet'te yapılacaktır. Duyurular için Teams grubuna katılınız.
Kitaplar.
0. Ders notları hazırlanmaktadır.
1. "Groups and Symmetry", M. A. Armstrong, Springer, 1988. [Chapter 17 ve sonrası]
2. "From Groups to Geometry and Back", V. Climenhaga and A. Katok, American Mathematical Society, 2017.
3. "Symmetries", D. L. Johnson, Springer, 2001.
4. "Groups and Geometry", R. Lyndon, LMS Lecture Notes, 1985.
5. "Abstract Regular Polytopes", P. McMullen and E. Schulte, Cambridge University Press, 2002.
6. "Geometric Regular Polytopes", P. McMullen, Cambridge University Press, 2020.
7. "Reflection Groups and Coxeter Groups", James E. Humphreys, Cambridge University Press, 1994.
8. "Mirrors and Reflections", A. V. Borovik, A. Borovik, Springer, 2010.
9. "Reflection Groups", C. T. Benson, L. C. Grove, Springer-Verlag, 1985.
Notlandırma.
Dönem içi bir ödev ve bir sınav (30'ar puan), dönem sonu bir final sınavı (40 puan) olacaktır.
Derste Yapılanlar/Yapılacaklar.
1. hafta: İzometrilerin geometrik ve cebirsel özellikleri. Doğrusal dönüşüm olmaları için gerek ve yeter koşulun bulunması.
2. hafta: Izom(R) grubundaki elemanlar, çarpımlar, eşlenikler ve bu grubun yarı direkt çarpım olarak yazılması. Izom(Rn) grubu ile ilgili ilk gözlemler.
3. hafta: Dik dönüşümler, dik matrisler. On grubunun bazı özellikleri. Izom(R2) grubundaki izometrilerin tiplerinin sınıflandırılması.
4. hafta: O3 grubunun elemanlarının sınıflandırılması. O2 grubunun sonlu altgruplarının sınıflandırılması. Platonik cisimlerle ilgili hatırlatmalar. Grup etkilerine giriş.
5. hafta: Yörünge-sabitleyici teoremi, Burnside Teoremi. O3 grubunun sonlu altgruplarının sınıflandırılmasına giriş.
6. hafta: Sınıflandırmanın tamamlanması. n boyutlu düzgün politop örneği olarak n-simplekslerin ve n-küplerin tanımlanması, özellikleri ve simetri gruplarının bulunması.
7. hafta: (Yalnızca 1 saat) Dört boyutlu düzgün politopların sınıflandırılması. Beş ve üzeri boyutlu düzgün politopların sınıflandırılmasının özeti.
8. hafta: (4 saat) Friz gruplarının tanımı, örnekler ve sınıflandırma. Yansıma gruplarına giriş: tanım ve örnekler.
9. hafta: (4 saat) Yansıma gruplarında kök sistemleri. Kök sistemlerinin basit sistemleri. Basit köklerin geometri, lineer cebir ve grup teori bakımından anlamı.
10. hafta: Yansıma gruplarının sunumları (presentations) ve Coxeter grubu olmaları. Coxeter grafının tanımı. Örnekler.
11. hafta: Coxeter graflarının sınıflandırılmasına giriş. Coxeter matrisleri. Poizitif definite simetrik bilineer formlar.
12. hafta: Pozitif definite ve pozitif semi-definite grafların tüm öz altgraflarının pozitif definite olması.
13. hafta: Coxeter gruplarının sınıflandırılmasının tamamlanması. Kristallografik kök sistemleri ve Weyl grupları.
14. hafta: Afin Weyl grupları. Cebirsel gruplarda kök sistemleri ve Weyl grupları (kısa bilgilendirme).
Güncelleme: 24 Şubat 2022
Hazırlayan: Ayşe Berkman