Koniden Parabol (Parabola From a Cone)

Yukarıdaki makette üç çeşit çizgi vardır:

1. Doğrular, AB, AC, BC, DFE, ve FG.
2. Çember, BDCE.
3. Parabol, DGE.

Bu parabol kelimesi, Yunanca παραβολή'den gelir. Yunanca kelime, bir şeyin yanına atılana denir. DGE çizgisi için Pergeli Apollonius'un bu kelimeyi neden seçtiği, aşağıdadır.

BDCE çemberi, bir koninin tabanıdır; A noktası, bu koninin tepesidir. Koninin yüzeyi gösterilmiyor, ama koninin tepesinden tabanın çevresine giden her doğru, koninin yüzeyindedir. Koninin ekseni, tepeden tabanının merkezine geçen doğrudur; bu da gösterilmiyor.

BC doğrusu, koninin tabanının bir çapıdır. O zaman ABC üçgeni, koninin eksenini içerir. Bundan dolayı ABC üçgeni, koninin bir eksen üçgenidir.

Koninin tabanının DE kirişi, BC çapına diktir ve bu çapı F noktasında keser. ABC üçgeninde FG doğrusu, AB kenarına paraleldir. Pergeli Apollonius'un tanımına göre DE ve FG doğrularından geçen düzlemin koninin yüzeyini kestiği DGE çizgisi, bir paraboldür.

Öklid'in Öğeler'inin üçüncü kitabının 35. önermesine göre,

Eğer dairede iki doğru birbirini keserse, birinin parçaları tarafından içerilen dikdörtgen, ötekinin parçaları tarafından içerilen dikdörtgene eşittir.

BDCE dairesinin BC ve DE kirişleri F noktasında kesiştiğinden

DF⋅FE = BF⋅FC.

Ayrıca aynı kitabın 3. önermesine göre,

Eğer, dairenin içinde, merkezden geçen bir doğru, merkezden geçmeyen bir doğruyu ikiye bölerse, dik açıda keser; ayrıca, dik açıda keserse, ikiye böler.

Sonuç olarak yukarıdaki şekilde DF = FE. DE doğrusu, hem koninin tabanının hem de parabolün bir kirişidir. Parabolün bu DE kirişine paralel olan her kirişi, GF doğrusu tarafından ikiye bölünür. Bu nedenle GF doğrusuna, parabolün çapı denir. DE kirişine paralel olan bir kirişin yarısına, ordinat denir, ve bu ordinat, çaptan G tarafında bir apsis keser. (Latince'de abscissa demek kesilendir.) Özel olarak DF ordinatına bağlı apsis GF'dir.

Eğer

• a, BF'nin uzunluğu,
• x, rasgele bir ordinatın uzunluğu,
• y, bu ordinata bağlı apsisin uzunluğu

ise, o zaman gördüğümüze göre

x² = a⋅y.

Bu şekilde bir ordinattaki kare, tabanı apsis olan (ve yüksekliği BF olan) dikdörtgene eşittir.